Question

18．已知過拋物線y²=4x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點．
（Ⅰ）求F點坐標(biāo)；
（Ⅱ）試問在x軸上是否存在一點T（不與F重合），使∠ATF=∠BTF？若存在，求出T點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）若P是拋物線上異于A，B的任意一點，l₁是拋物線的準(zhǔn)線，直線PA、PB分別交l₁于點M、N，求證：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$為定值，并求出該定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線方程知F（1，0）；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為x=my+1，將拋物線C的方程y²=4x與直線l的方程聯(lián)立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達(dá)定理求得k_AT+k_BT，設(shè)點T（a，0）存在，由TA，TB與x軸所成的銳角相等可得k_TA+k_TB=0，利用韋達(dá)定理，即可求得a；
（Ⅲ）求出M，N點橫坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）拋物線方程知F（1，0）；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線l的方程為x=my+1（m≠0），
代入y²=4x得y²-4my-4=0，△=16m²+16＞0恒成立，
$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=4m}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-4}\end{array}\right.$
假設(shè)存在T（a，0）滿足題意，則k_AT+k_BT=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}+\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}=\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（1-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{（x}_{1}-a）（{x}_{2}-a）}$=0
∴-8m+4m（1-a）=0，
∴a=-1，∴存在T（-1，0）；
（Ⅲ）設(shè)P（x₀，y₀），則直線PA的方程為：y-y₁=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{0}}（x-{x}_{1}）$
當(dāng)x=-1時，y=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，即M點縱坐標(biāo)為y_M=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$，
同理可得N點縱坐標(biāo)為y_N=$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$．
∴y_My_N⁼$\frac{{y}_{1}{y}_{0}-4}{{y}_{1}+{y}_{0}}$×$\frac{{y}_{2}{y}_{0}-4}{{y}_{2}+{y}_{0}}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{0}}•\frac{{y}_{2}{y}_{0}+{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{2}+{y}_{0}}={y}_{1}{y}_{2}=-4$
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$═y_My_N+（-1）•（-1）=-3為定值

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積公式，屬于中檔題．