【題目】如圖,三棱柱的底面是等邊三角形,在底面ABC上的射影為△ABC的重心G.

1)已知,證明:平面平面

2)已知平面與平面ABC所成的二面角為60°,G到直線AB的距離為a,求銳二面角的余弦值.

【答案】1)證明見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)連接并延長(zhǎng)交,易知平面,進(jìn)而可證明平面,可得,再由四邊形是菱形,可得,從而可證明平面,進(jìn)而可證明平面平面;

2)連接,易知,進(jìn)而可得,結(jié)合平面與平面所成的二面角的平面角為,由,可得,,從而以為原點(diǎn),分別作為軸、軸,過(guò)點(diǎn)作平行與的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面、平面的法向量,由,進(jìn)而可求出銳二面角的余弦值.

1)證明:連接并延長(zhǎng)交,由已知得平面,

平面,可得,

平面,平面,所以平面,

平面,可得,

因?yàn)樗倪呅?/span>是平行四邊形,且,所以四邊形是菱形,所以,

又因?yàn)?/span>,且平面,平面,所以平面,

因?yàn)?/span>平面,所以平面平面.

2)連接,因?yàn)?/span>在底面上的射影是的重心,

所以全等,

所以,因?yàn)?/span>,所以點(diǎn)中點(diǎn),所以,

故平面與平面所成的二面角的平面角為,

,得,,

故以為原點(diǎn),直線分別作為軸、軸,過(guò)點(diǎn)作平行與的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

,,,,,

所以,,

設(shè)為平面的一個(gè)法向量,

,可取,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,

,可取,

所以,

故銳二面角的余弦值為.

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尺寸xmm

38

48

58

68

78

88

質(zhì)量

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

質(zhì)量與尺寸的比

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

1)現(xiàn)從抽取的6件合格產(chǎn)品中再任選2件,求選中的2件均為優(yōu)等品的概率;

2)根據(jù)測(cè)得數(shù)據(jù)作了初步處理,得相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表:

75.3

24.6

18.3

101.4

根據(jù)所給統(tǒng)計(jì)量,求y關(guān)于x的回歸方程.

附:對(duì)于樣本,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.

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