Question

20．已知四棱錐S-ABCD的底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，E是SC上的任意一點．過點E的平面α垂直于平面SAC．
（1）請作出平面α截四棱錐S-ABCD的截面（只需作圖并寫出作法）；
（2）當(dāng)SA=AB時，求二面角B-SC-D的大�。�

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件先證明BD⊥平面SAC，則面α 與底面的交線平行于BD即可；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BSC、平面SCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B-SC-D的大�。�

解答 （1）∵SA⊥底面ABCD，∴SA⊥BD，
∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，
則BD⊥平面SAC，
若點E的平面α垂直于平面SAC，
則平面α 與底面的交線平行于BD即可．

（2）解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
點A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AS所在的直線分別為x，y，z軸．設(shè)AB=1．

由題意得B（1，0，0），S（0，0，1），C（1，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{SB}$=（1，0，-1），又$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1）
設(shè)平面BSC的法向量為$\overrightarrow{n}$（x₁，y₁，z₁），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}={x}_{1}+{y}_{1}-{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}={x}_{1}-{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，令z₁=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，0，1，
$\overrightarrow{DS}$=（0，-1，1）$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
設(shè)平面SCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x₂，y₂，z₂），則
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{DC}={x}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DS}={z}_{2}-{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，令y₂=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
設(shè)二面角B-SC-D的平面角為α，則
|cosα|=$\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$．
顯然二面角B-SC-D的平面角為α為鈍角，所以α=120°，
即二面角C-PB-D的大小為120°．

點評 本題主要考查了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及二面角的求解，考查向量法的運用，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．