Question

18．已知函數(shù)$f（x）=1+\frac{1}{x}+lnx+\frac{lnx}{x}$．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）求證：當x＞1時，$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．

Answer 1

分析 （1）令f′（x）=0得出x-lnx=0，再判斷y=x-lnx的單調(diào)性得出最小值得出f′（x）＞0，得出結(jié)論；
（2）求出右側(cè)函數(shù)h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$的最大值，再根據(jù)f（x）的單調(diào)性比較$\frac{f（x）}{e+1}$與h_max（x）的大小關(guān)系即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$．
令ϕ（x）=x-lnx，則$ϕ'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$．
當x＞1時，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增；
當0＜x＜1時，ϕ'（x）＜0，ϕ（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減．
∴ϕ（x）在x=1處取得唯一的極小值，即為最小值．即ϕ（x）≥ϕ（1）=1＞0，
∴f'（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知，當x＞1時，f（x）為增函數(shù)，故f（x）＞f（1）=2，
故$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}$．
令$h（x）=\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$，則$h'（x）=2\frac{{{e^{x-1}}（x{e^x}+1）-（x{e^x}+1）'{e^{x-1}}}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}=\frac{{2{e^{x-1}}（1-{e^x}）}}{{{{（x{e^x}+1）}^2}}}$，
∵x＞1，∴1-e^x＜0．∴h'（x）＜0，即h（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴x＞1時，$h（x）＜h（1）=\frac{2}{e+1}$．
∴$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{2}{e+1}＞h（x）$，即$\frac{f（x）}{e+1}＞\frac{{2{e^{x-1}}}}{{x{e^x}+1}}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．