Question

知等差數(shù)列的公差大于0,且是方程的兩根,數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)記,求證:;
（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

(Ⅰ)；(Ⅱ)詳見解析；（Ⅲ）．

試題分析：(Ⅰ)求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求出即可，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024016382437.png" style="vertical-align:middle;" />是方程的兩根,且數(shù)列的公差,這樣可求出，從而可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，又因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，，可利用得到遞推關(guān)系，，得出 ，數(shù)列是等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式寫出；(Ⅱ)記,求證:，首先寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式，， 要證明，可用作差比較法，只需證即可；（Ⅲ）求數(shù)列的前項(xiàng)和，由的通項(xiàng)公式可知，它是由一個(gè)等差數(shù)列，與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所組成的數(shù)列，符合利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，故本題用錯(cuò)位相減法來求．
試題解析：(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024016382437.png" style="vertical-align:middle;" />是方程的兩根,且數(shù)列的公差,所以
公差                                         1分
所以.                                2分
又當(dāng)時(shí),有,所以.         
當(dāng)時(shí),有,所以.      3分
所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,
所以.                                    4分
(Ⅱ)由(1)知,                      5分      
所以,                  7分 
所以.                                              8分 
（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024017287882.png" style="vertical-align:middle;" />,                                 9分 
則,①                      
,②                  10分 
由①-②,得
,                       11分 
整理,得.                                          12分