Question

【題目】德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）= ，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題： ①f（f（x））=1；
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
③任意一個(gè)非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)任意x∈R恒成立；
④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），C（x3 ， f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=0， ∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；
②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，
∴對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；
③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)； 若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
即真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，
故選：A．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解命題的真假判斷與應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．