Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，．　

（1）證明：平面平面；

（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結合面面垂直的性質可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；

（2）取的中點，連接，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題得，解得. 進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.

詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.

∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，

∴CD⊥平面PBC，

∴CD⊥PB.

∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.

∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.

（2）設BC中點為,連接，

，又面 面，且面 面 ，

所以面.

以為坐標原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設，

可得

所以由題得，解得.

所以

設是平面的法向量，則，即，

可取.

設是平面的法向量，則，即，

可取.

則，

所以二面角的余弦值為.