Question

10．在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁，Q是棱CC₁上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)BQ+QD₁的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，直線B₁Q與直線AD所成角的正切值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 當(dāng)BQ+D₁Q的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)Q是CC₁的中點(diǎn)，以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線B₁Q和直AD所成的角的正切值．

解答 解：設(shè)AB=BC=$\sqrt{2}$AA₁=$\sqrt{2}$，
把B₁C₁CB展開(kāi)與D₁C₁CD成一個(gè)長(zhǎng)方形D₁B₁BD時(shí)，
連結(jié)D₁B，交CC₁于Q時(shí)，當(dāng)BQ+D₁Q的長(zhǎng)度取得最小值，
此時(shí)Q是CC₁的中點(diǎn)，
以D₁為原點(diǎn)，D₁A₁為x軸，D₁C₁為y軸，D₁D為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
${B}_{1}（\sqrt{2}，\sqrt{2}，0）$，Q（0，$\sqrt{2}$，$\frac{1}{2}$），A（ $\sqrt{2}，0，1）$，D（0，0，1），
$\overrightarrow{AD}=（-\sqrt{2}，0，0）$，$\overrightarrow{{B}_{1}Q}=（-\sqrt{2}，0，\frac{1}{2}）$
cos$＜\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{{B}_{1}Q}＞$=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{{B}_{1}Q}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{{B}_{1}Q}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\frac{3}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
設(shè)直線B₁Q和直線AD所成角為θ，則cos$θ=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{4}$
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線角的正切值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．