Question

19．F₁、F₂是雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足|PF₁|•|PF₂|=32，則∠F₁PF₂是（　　）

• A． 鈍角
• B． 直角
• C． 銳角
• D． 以上都有可能

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：由雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$知F₁（-5，0），F(xiàn)₂（5，0），則|F₁F₂|=10；
點(diǎn)P在雙曲線$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$上，不妨設(shè)點(diǎn)P在右支上，
則|PF₁|-|PF₂|=6，
平方得${（{|P{F_1}|-|P{F_2}|}）^2}=36$，
即$|P{F_1}{|^2}-2|P{F_1}||P{F_2}|+|P{F_2}{|^2}=36$；
因?yàn)閨PF₁||PF₂|=32，所以$|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}=100$，
又由余弦定理得$cos∠{F_1}P{F_2}=\frac{{|P{F_1}{|^2}+|P{F_2}{|^2}-|{F_1}{F_2}{|^2}}}{{2|P{F_1}||P{F_2}|}}=\frac{100-100}{{2|P{F_1}||P{F_2}|}}=0$，
即cos∠F₁PF₂=0，所以∠F₁PF₂=90°．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運(yùn)算和轉(zhuǎn)化能力．