Question

17．如圖，某地區(qū)有四個(gè)單位分別位于矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，且AB=2km，BC=4km，四個(gè)單位商量準(zhǔn)備在矩形空地中規(guī)劃一個(gè)三角形區(qū)域AMN種植花草，其中M，N分別在變BC，CD上運(yùn)動(dòng)，若∠MAN=$\frac{π}{4}$，則△AMN面積的最小值為8$\sqrt{2}$-8km²．

Answer 1

分析 設(shè)∠BAM=α，由題意可知，AM=$\frac{2}{cosα}$，AN=$\frac{4}{cos（45°-α）}$，可求三角形面積，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)得到S_△AMN關(guān)于α的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合α的范圍即可計(jì)算得解．

解答 解：設(shè)∠BAM=α，
由題意可知，AM=$\frac{2}{cosα}$，AN=$\frac{4}{cos（45°-α）}$，
則S_△AMN=$\frac{1}{2}$AM•ANsin$\frac{π}{4}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{cosα}$×$\frac{4}{cos（45°-α）}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{8}{1+\sqrt{2}sin（2α+45°）}$，
當(dāng)α=22.5°時(shí)，三角形AMN面積最小，最小值為（8$\sqrt{2}$-8）km²．
故答案為：8$\sqrt{2}$-8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換，三角形的面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題．