Question

4．已知函數f（x）=|x|，g（x）=m-|x-3|．
（1）解關于的不等式g（f（x））+1-m＞0；
（2）已知c＞0，f（a）＜c，f（b）＜c，求證：$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 （1）由g（f（x））+1-m＞0得||x|-3|＜1，即可解不等式；
（2）利用分析法，即可證明結論．

解答 （1）解：由g（f（x））+1-m＞0得||x|-3|＜1，∴-1＜|x|-3＜1，∴2＜|x|＜4，
∴不等式解集為（-4，-2）∪（2，4）．              …（5分）
（2）證明：要證$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$，即證$\frac{|a+b|}{|{c}^{2}+ab|}$＜$\frac{1}{c}$，
只需證a²c²+2abc²+b²c²＜c⁴+2abc²+a²b²，
只需證a²c²+b²c²＜c⁴+a²b²，
只需證（a²-c²）（c²-b²）＜0，
又由題意知|a|＜c，|b|＜c，∴a²＜c²，b²＜c²，∴（a²-c²）（c²-b²）＜0成立，
故$\frac{f（a+b）}{f（{c}^{2}+ab）}$＜$\frac{1}{c}$得證．  …（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查分析法證明不等式，屬于中檔題．