Question

13．已知雙曲線：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（2，0），設(shè)A，B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，AF的中點(diǎn)為M，BF的中點(diǎn)為N，若原點(diǎn)O在以線段MN為直徑的圓上，直線AB的斜率為$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，則雙曲線的離心率為2．

Answer 1

分析 由題意可知：以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O，則OM⊥ON，則AF⊥BF，$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求得x₀²+y₀²=4，由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，代入即可求得x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{7}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，代入即可雙曲線方程$\frac{7}{4{a}^{2}}$-$\frac{9}{4^{2}}$=1，求得a²=1，則e=$\frac{c}{a}$=2．

解答 解：由題意可知：設(shè)A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），由右焦點(diǎn)F（2，0），則c=2
∵以MN為直徑的圓過原點(diǎn)O，
∴OM⊥ON，
又∵OM∥BF，ON∥AF，
∴AF⊥BF，
$\overrightarrow{AF}$=（2-x₀，-y₀），$\overrightarrow{BF}$=（2+x₀，y₀），
∴$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=（2-x₀）（2+x₀）-y₀²，
∴4-x₀²-y₀²=0，
即x₀²+y₀²=4，
由k_AB=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴y₀²=$\frac{9}{7}$x₀²，
∴x₀²+$\frac{9}{7}$x₀²=4，
解得：x₀²=$\frac{7}{4}$，y₀²=$\frac{9}{7}$×$\frac{7}{4}$=$\frac{9}{4}$，
代入雙曲線方程得：$\frac{7}{4{a}^{2}}$-$\frac{9}{4^{2}}$=1，
∴7b²-9a²=4a²b²，由b²=c²-a²=4-a²，
∴7（4-a²）-9a²=4a²（4-a²），解得：a²=1或a²=7（舍），
∴a=1，
∴e=2，
故答案為：2．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何形狀，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計算能力，屬于中檔題．