Question

14．給出下列例題：
①若奇函數(shù)f（x）對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)；
②函數(shù)f（x）=（x-3）e^-x的單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）；
③若函數(shù)f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f（$\frac{π}{4}$）的值為1；
④函數(shù)f（x）=2^|x||log_0.5x|-1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，
其中真命題是①③④（將你認(rèn)為真命題的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析 ①由函數(shù)奇偶性，周期性，對(duì)稱性之間的關(guān)系，可知①正確；
②求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于0，即可判斷；
③求出f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，可得f（$\frac{π}{4}$）的值；
④函數(shù)f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程2^x|log_0.5x|-1=0根個(gè)數(shù)，即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可得答案．

解答 解：對(duì)于①，如函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則是對(duì)稱軸為1的函數(shù)，又為奇函數(shù)，所以是周期函數(shù)，且周期為4．所以正確．
對(duì)于②，f′（x）=（4-x）e^-x＞0，∴x＜4，∴函數(shù)f（x）=（x-3）e^-x的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，4），不正確；
③若函數(shù)f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，則f′（x）=-f'（$\frac{π}{4}$）sinx+cosx，所以f′（$\frac{π}{4}$）=-f'（$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$+cos$\frac{π}{4}$，所以f′（$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$-1，所以f（$\frac{π}{4}$）的值為1，正確；
④函數(shù)f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
即方程2^x|log_0.5x|-1=0根個(gè)數(shù)，
即方程|log_0.5x|=（$\frac{1}{2}$）^x根個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象，如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)y=|log_0.5x|與y=（$\frac{1}{2}$）^x圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
故函數(shù)f（x）=2^x|log_0.5x|-1的零點(diǎn)有2個(gè)，正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了命題真假的判斷，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，須認(rèn)真審題．