Question

18．非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$），則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{3}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{π}{6}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 利用兩個向量垂直的性質，兩個向量數(shù)量積的定義，求得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的余弦值，可得$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角．

解答 解：設$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$夾角的大小為θ，則θ∈[0，π]，∵|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow$|，且（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$），
∴（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$-3$\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-4$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+3${\overrightarrow}^{2}$=3${|\overrightarrow|}^{2}$-4$\sqrt{3}$${|\overrightarrow|}^{2}$•cosθ+3${|\overrightarrow|}^{2}$=0，cosθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴θ=$\frac{π}{6}$，
故選：C．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的性質，兩個向量數(shù)量積的定義，屬于基礎題．