Question

12．已知橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，中心在原點(diǎn)，且過(guò)（3，0）點(diǎn)，其離心率e=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 利用橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)直接求解，需要注意的是要分焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況分別求解．

解答 解：①焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，
由題意知a=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
解得c=$\sqrt{6}$，b²=a²-c²=9-6=3．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
②焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，
由題意可知b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且a²=b²+c²，
解得c²=18，a²=27．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{y}^{2}}{27}+\frac{{x}^{2}}{9}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要注意分類討論的合理運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．