（本小題滿分14分）如圖所示，在四棱錐中，平面，，
，，是的中點.
（1）證明：平面；
（2）若，，，求二面角的正切值.

解：（1）證明：∵平面，∴。
∵，是的中點
∴為△中邊上的高，
∴。
∵，
∴平面�！�6分
（2）方法1：延長DA、CB相交于點F，連接PF、DB
過點P作PE⊥BC，垂足為E，連接HE
由（1）知平面，則PH⊥BC
又∵PE∩PH=P，∴BC⊥平面PHE，∴BC⊥HE
∴∠PEH就是所求二面角P－BC－D的平面角……………9分
在△FDC中，∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∵，∴AB＝2，∴BD＝，
∴AB是△FCD的中位線，F(xiàn)D＝CD
∴BD⊥CF
∴HE＝
∵PH＝1，∴……………14分
方法2：由（1）知平面，如圖建立空間直角坐標系.

∵PH＝1，AD＝1，∴PD＝
∵平面，，∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥PD，∵PC＝，∴CD＝4
∴
設平面BCD、平面PBC的法向量分別為
則，設
∵，令，則
，設二面角P－BC－D為，
則，故

解析

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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在長方體中，，且．

（I）求證：對任意，總有；
（II）若，求二面角的余弦值；
（III）是否存在，使得在平面上的射影平分？若存在, 求出的值, 若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）正方體，，E為棱的中點．
(Ⅰ) 求證：；  (Ⅱ) 求證：平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示的長方體中，底面是邊長為的正方形，為與的交點，，是線段的中點．

(1)求證：平面；
(2)求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD＝PD＝2MA.

（1）求證：平面EFG⊥平面PDC；
（2）求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（ 14分）如圖，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，將矩形沿對角線BD把△ABD折起，使A移到點，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：平面平面；
（Ⅲ）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖所示，在邊長為12的正方形中，點在線段上，且，，作//，分別交，于點，，作//，分別交，于點，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構成如圖2所示的三棱柱.

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求四棱錐的體積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

一個長、寬、高分別為a、b、c長方體的體積是8cm2，它的全面積是32 cm2， 且滿足  b2＝ac，求這個長方體所有棱長之和。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分14分）
如圖，正三棱柱中，為
的中點，為邊上的動點.
（Ⅰ）當點為的中點時，證明DP//平面；
（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.

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