3.已橢圓T:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$,最小值為2-$\sqrt{3}$.
(1)求橢圓T的方程;
(2)已知直線l與橢圓T相交于P,Q兩不同點(diǎn),直線l方程為y=kx+$\sqrt{3}$(k>0),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OPQ面積的最大值.

分析 (1)利用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$,最小值為2-$\sqrt{3}$,由此可求a,c然后求解b,即可得到橢圓T的方程;
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出|PQ|,求出原點(diǎn)到直線l的距離,表示出三角形的面積,進(jìn)而利用基本不等式,即可求得△OPQ面積的最大值.

解答 解:(1)由題意:橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$,最小值為2-$\sqrt{3}$,
則:a+c=2+$\sqrt{3}$,a-c=2-$\sqrt{3}$,解得a=2,c=$\sqrt{3}$,b=1.
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得(1+4k2)x2+8$\sqrt{3}$kx+8=0,
令P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=$\frac{-8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$,
△=(8$\sqrt{3}$k)2-32(1+4k2)>0,即:2k2-1>0,
又原點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|,
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|x1-x2|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{(1+4{k}^{2})^{2}}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{4(2{k}^{2}-1)^{2}+12(2{k}^{2}-1)+9}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{4(2{k}^{2}-1)+\frac{9}{2{k}^{2}-1}+12}}$
≤$2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{24}}$=1當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時取等號,
則△OPQ面積的最大值為1.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運(yùn)用,正確表示三角形的面積是關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆甘肅會寧縣一中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題

選修4—1:幾何證明選講

如圖,已知AP是⊙O的切線,P為切點(diǎn),AC是⊙O的割線,與⊙O交于B、C兩點(diǎn),圓心O在∠PAC的內(nèi)部,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).

(1) 證明:A、P、O、M四點(diǎn)共圓;

(2)求∠OAM+∠APM的大小

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已知函數(shù)的值域為,那么的取值范圍是( )

A. B. C.(-∞,-1] D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽六安一中高三上學(xué)期月考二數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說法正確的是( )

A.函數(shù)的最小正周期為

B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱

D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽六安一中高三上學(xué)期月考二數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知,且,則的值是( )

A. B. C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

8.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位年人,結(jié)果如下:
性別
是否需要志愿者
需要4030
不需要160270
(Ⅰ)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;
(Ⅱ)能否有99%的把握認(rèn)為該區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)?
(Ⅲ)在需要提供服務(wù)的老年人中按分層抽樣抽取7人組成特別護(hù)理組,現(xiàn)從特別護(hù)理組中抽取2人參加某機(jī)構(gòu)組織的健康講座,求抽取的兩人恰是一男一女的概率.
P(K2≥k)0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.如圖,在△ABC中,AD為∠BAC的平分線,AE為邊BC上的中線,已知AB=3,AC=5,AE=$\frac{7}{2}$.
(1)求角A;
(2)求AD的長.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.如圖,若點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn),∠BEC=45°,連AE.
(1)求∠AEB的度數(shù);
(2)求證:AE+CE=$\sqrt{2}$BE.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

13.設(shè)S={x∈N|0≤x≤6},A={1,3,4},B={4,6},C={3,5},則A∩B{4},A∪B={1,3,4,6},(∁SA)∩(∁SB)={2,5},A∩B∩C=∅,A∪B∪C={1,3,4,5,6}.

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同步練習(xí)冊答案