分析 (1)利用橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$,最小值為2-$\sqrt{3}$,由此可求a,c然后求解b,即可得到橢圓T的方程;
(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理求出|PQ|,求出原點(diǎn)到直線l的距離,表示出三角形的面積,進(jìn)而利用基本不等式,即可求得△OPQ面積的最大值.
解答 解:(1)由題意:橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為2+$\sqrt{3}$,最小值為2-$\sqrt{3}$,
則:a+c=2+$\sqrt{3}$,a-c=2-$\sqrt{3}$,解得a=2,c=$\sqrt{3}$,b=1.
故所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1.
(2)聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$,整理得(1+4k2)x2+8$\sqrt{3}$kx+8=0,
令P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=$\frac{-8\sqrt{3}k}{1+4{k}^{2}}$,x1x2=$\frac{8}{1+4{k}^{2}}$,
△=(8$\sqrt{3}$k)2-32(1+4k2)>0,即:2k2-1>0,
又原點(diǎn)到直線l的距離為d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$,|PQ|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x1-x2|,
∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$|PQ|•d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|x1-x2|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{(1+4{k}^{2})^{2}}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{2{k}^{2}-1}{4(2{k}^{2}-1)^{2}+12(2{k}^{2}-1)+9}}$
=2$\sqrt{6}$•$\sqrt{\frac{1}{4(2{k}^{2}-1)+\frac{9}{2{k}^{2}-1}+12}}$
≤$2\sqrt{6}×\sqrt{\frac{1}{24}}$=1當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{5}}{2}$時取等號,
則△OPQ面積的最大值為1.
點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運(yùn)用,正確表示三角形的面積是關(guān)鍵.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆甘肅會寧縣一中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:解答題
選修4—1:幾何證明選講
如圖,已知AP是⊙O的切線,P為切點(diǎn),AC是⊙O的割線,與⊙O交于B、C兩點(diǎn),圓心O在∠PAC的內(nèi)部,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn).
(1) 證明:A、P、O、M四點(diǎn)共圓;
(2)求∠OAM+∠APM的大小
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆甘肅會寧縣一中高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的值域為,那么的取值范圍是( )
A. B. C.(-∞,-1] D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽六安一中高三上學(xué)期月考二數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù)的部分圖象如圖所示,下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱
D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2017屆安徽六安一中高三上學(xué)期月考二數(shù)學(xué)(文)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知,且,則的值是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
性別 是否需要志愿者 | 男 | 女 |
需要 | 40 | 30 |
不需要 | 160 | 270 |
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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