Question

已知是的圖象上任意兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，且，若，其中，且．

（1）求的值； 

（2）求；

（3）數(shù)列中，當(dāng)時，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍使對一切都成立．

 

Answer 1

【答案】

（1）由 ，得點(diǎn)是的中點(diǎn)，

則， 故，，

所以

 

（2）由（1）知當(dāng)時，． 

又，∴，

∴ 

（，且）．

（3），

故當(dāng)時

，故由得，

即，只要，，

故當(dāng)時，；當(dāng)是，，由得，而．

故當(dāng)時可以對一切不等式都成立．

【解析】(1) ，得點(diǎn)是的中點(diǎn)，

則， 故，.這是解本小題的關(guān)鍵.

(2) 由（1）知當(dāng)時，． 

又，下面采用倒序相加的方法求和即可.

(3)

所以采用裂項(xiàng)求和的方法求解即可.

【點(diǎn)評】數(shù)列是以正整數(shù)為自變量的函數(shù)，從函數(shù)入手設(shè)計(jì)數(shù)列試題是自然的．本題從函數(shù)圖象的對稱性出發(fā)構(gòu)造了一個函數(shù)值的數(shù)列，再從這些已經(jīng)解決的問題入手構(gòu)造了一個裂項(xiàng)求和問題和一個不等式恒成立問題，試題設(shè)計(jì)逐步深入．解答數(shù)列求和時要注意起首項(xiàng)是不是可以融入整體，實(shí)際上本題得到的對也成立