Question

9．已知點A（0，5），圓C：x²+y²+4x-12y+24=0
（1）若直線l過A（0，5）且被圓C截得的弦長為4$\sqrt{3}$，求直線l的方程；
（2）點M（-1，0），N（0，1），點Q是圓C上的任一點，求△QMN面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出圓心和半徑．設(shè)過該點的直線方程，求圓心到直線的距離與半徑和半弦長構(gòu)成勾股定理，解出斜率k，即得到直線方程，注意討論斜率不存在的情況；
（2）求出直線方程，圓心坐標與半徑，從而可得圓上的點到直線距離的最小值，進而可求△ABC的面積最小值．

解答 解：（1）圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圓心坐標為（-2，6），半徑為r=4，點P（0，5），
當直線斜率不存在時，直線方程為：x=0，
當x=0時，y²-12y+24=0，解得y=6±2$\sqrt{3}$，
可得弦長為6+2$\sqrt{3}$-（6-2$\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$成立；
當直線斜率存在時，設(shè)過P的直線方程為：y=kx+5，化為一般方程：kx-y+5=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|2k+1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$．
又（2$\sqrt{3}$）²+d²=r²=16，
解得：k=$\frac{3}{4}$，
所以3x-4y+20=0，
綜上可得直線l：x=0或3x-4y+20=0；
（2）直線MN的方程為-x+y=1，即x-y+1=0．
圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，其圓心坐標為（-2，6），半徑為r=4，
可得圓心（-2，6）到直線MN的距離為d=$\frac{|-2-6+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
圓上的點到直線距離的最小值為$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-4．
由|MN|=$\sqrt{2}$，可得△ABC的面積最小值是$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×（$\frac{7\sqrt{2}}{2}$-4）=$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查求直線的方程，注意運用點到直線的距離公式、弦長公式，考查三角形的面積的最小值，注意運用轉(zhuǎn)化思想，求得圓上點到直線的最小值，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．