19.已知函數(shù)f(x)=ex-aex(a∈R,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

分析 (1)求出f'(x)=ex-ea,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
(2)由a<0,a=0,a>0,利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類討論,能求出a的取值范圍.

解答 解:(1)由f(x)=ex-eax,得f'(x)=ex-ea.
當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)=ex-ea>0,則f(x)在R上為增函數(shù);
當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=ex-ea=ex-e1+lna=0,解得x=1+lna.
當(dāng)x<1+lna時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x>1+lna時(shí),f'(x)>0.
所以f(x)在(-∞,1+lna)上為減函數(shù),
在(1+lna,+∞)上為增函數(shù).
(2)結(jié)合(1),得:
當(dāng)a<0時(shí),設(shè)a<-1,則f(2a)=e2x-ea•2a=e2x-2ea2<0,
這與“當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥0恒成立”矛盾,此時(shí)不適合題意.
當(dāng)a=0時(shí),f(x)=ex,滿足“當(dāng)x∈R時(shí),f(x)≥0恒成立”.
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的極小值點(diǎn),也是最小值點(diǎn),
即$f{(x)_{min}}=f(1+lna)={e^{1+lna}}-ea(1+lna)=-ealna$,
由f(x)≥0,得-ealna≥0,解得0<a≤1.
綜上,a的取值范圍是[0,1].

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性的討論,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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