Question

3．已知F是雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦點，P是C左支上一點，$A（{0，6\sqrt{6}}）$，當△APF周長最小時，點P的縱坐標為2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 設雙曲線的左焦點為F'，求出雙曲線的a，b，c，運用雙曲線的定義可得△PFA周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，考慮P在左支上運動到與A，F(xiàn)'共線時，取得最小值，即可得到所求值．

解答 解：設雙曲線的左焦點為F'，
由雙曲線$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$可得a=1，b=2$\sqrt{2}$，c=3，
即有F（3，0），F(xiàn)'（-3，0），
△PFA周長為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+15，
由雙曲線的定義可得|PF|-|PF'|=2a=2，
即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2，
當P在左支上運動到A，P，F(xiàn)'共線時，|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|，則有△APF周長取得最小值，
直線AF′的方程為$\frac{x}{-3}+\frac{y}{6\sqrt{6}}$=1，與雙曲線方程聯(lián)立，得到點P的縱坐標為2$\sqrt{6}$，
故答案為：2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查三角形的周長的最小值，注意運用雙曲線的定義和三點共線時取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．