Question

19．如圖，在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，點E是線段PC的中點．
（1）求異面直線AP與BE所成角的大��；
（2）若點F在線段PB上，使得二面角F-DE-B的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求$\frac{PF}{PB}$的值．

Answer 1

分析 （1）建立坐標系，求出向量坐標，即可求異面直線AP與BE所成角的大��；
（2）求出平面的法向量，利用向量的夾角公式建立方程，即可求$\frac{PF}{PB}$的值．

解答 解：（1）設異面直線AP與BE所成角的大小為α，建立坐標系如圖：設正方體棱長為2a，則D（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，2a，0），E（0，a，a），A（2a，0，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（-2a，0，2a），$\overrightarrow{BE}$=（-2a，-a，a）
∴cosα=|$\frac{4{a}^{2}+2{a}^{2}}{\sqrt{4{a}^{2}+4{a}^{2}•\sqrt{4{a}^{2}+{a}^{2}+{a}^{2}}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴異面直線AP與BE所成角的大小為30°；
（2）$\overrightarrow{DB}$=（2a，2a，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，a，a），
設平面BDE的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{2ax+2ay=0}\\{ay+az=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1）
設$\frac{PF}{PB}$=λ，則F（2aλ，2aλ，2a-2aλ），
∴$\overrightarrow{DF}$=（2aλ，2aλ，2a-2aλ），
設平面DEF的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x′，y′，z′），則$\left\{\begin{array}{l}{ay′+\frac{1}{2}az′=0}\\{2aλx′+2aλy′+（2a-2aλ）z′=0}\end{array}\right.$，
∴取$\overrightarrow{n}$=（3-$\frac{2}{λ}$，-1，2），
∵二面角F-DE-B的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角F-DE-B的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴|$\frac{3-\frac{2}{λ}+1+2}{\sqrt{3}•\sqrt{（3-\frac{2}{λ}）^{2}+1+4}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了異面直線AP與BE所成角、二面角的平面角，考查向量知識的運用，體現了向量的工具性．