【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,底面ABCD為正方形,PA⊥底面ABCDPAADM,N分別是AB,PC的中點.

1)求證:MN//平面PAD;

2)求證:MN⊥平面PCD;

3)求二面角BPCD的大。

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析;(3120°

【解析】

1PD中點Q,連接NQ,AQ,則四邊形MNQA是平行四邊形,從而得到MN//AQ,由線面平行判定定理得MN//平面PAD;

2先證得AQ⊥平面PDC,由(1)得MN//AQ,從而得MN⊥平面PCD

3BBHPCH,連接HD,BD.由已知條件得△PBC≌△PDC,從而得DHPC,進而得∠BHD是二面角BPCD的平面角,在中,利用余弦定理求得∠BHD即可.

1)證明:取PD中點Q,連接AQ,NQ,在△PCD中, N,Q分別為PCPD的中點,

所以NQ//CD,且NQCD,因為底面ABCD是正方形,且MAB中點,所以AM//CD,且AMCD

所以AM//NQ,且AMNQ,所以四邊形AMNQ是平行四邊形,所以MN//AQ

又因為AQ平面PAD,MN平面PAD,所以MN//平面PAD.

2)證明:因為底面ABCD是正方形,所以CDAD,且PA⊥底面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD,

又因為AD平面PAD,PA平面PADADPAA,所以CD⊥平面PAD,

因為AQ平面PAD,所以CDAQ,因為PAAD,QPD中點,所以AQPD,

又因為CD平面PCD,PD平面PCD,CDPDD,所以AQ⊥平面PCD.

由(1)得MN//AQ,所以MN⊥平面PCD.

3)過BBHPCH,連接HD,BD,因為PA⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且PAAD

PAADa,則PBPDa,又因為CBCDaPCPC,所以△PBC≌△PDC,

因為BHPC,所以DHPC,所以∠BHD是二面角BPCD的平面角.

由(2CD⊥平面PAD,又為PD平面PAD,所以CDPD,所以BHHD,

中,,所以∠BHD120°,

所以二面角BPCD的大小為120°

練習冊系列答案
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①存在點,使得//平面

對于任意的點,平面平面

存在點,使得平面;

④對于任意的點,四棱錐的體積均不變.

其中正確命題的序號是______.(寫出所有正確命題的序號).

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日期

121

122

123

124

125

溫差x(℃)

10

11

13

12

8

發(fā)芽數(shù)y(顆)

23

25

30

26

16

該農(nóng)科所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

1)若選取的是121日與125日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)122日至124日的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程bx+a

2)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠?

,

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1)完成列聯(lián)表,并回答能否有99%的把握認為對線上教育是否滿意與性別有關(guān);

滿意

不滿意

總計

男生

30

女生

15

合計

120

2)從被調(diào)查的對線上教育滿意的學生中,利用分層抽樣抽取8名學生,再在8名學生中抽取3名學生,作線上學習的經(jīng)驗介紹,其中抽取男生的個數(shù)為,求出的分布列及期望值.

參考公式:附:

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

0.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10828

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【題目】下列說法中正確的是(

A.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量有一組觀測數(shù)據(jù),其線性回歸方程是,且,則實數(shù)的值是

B.正態(tài)分布在區(qū)間上取值的概率相等

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