Question

9．在平面直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知在極坐標系中，A（4，0），B（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），圓C的極坐標方程為ρ=2sinθ．
（Ⅰ）求直線AB和圓C的直角坐標方程．
（Ⅱ）已知P為圓C上的任意一點，求△ABP面積的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，可得圓的直角坐標方程，求得A，B的直角坐標，即可得到直線AB的方程；
（Ⅱ）求得AB的距離和圓C和半徑，求得圓C到直線AB的距離，由圓C上的點到直線AB的最大距離為d+r，運用三角形的面積公式，即可得到所求最大值．

解答 解：（Ⅰ）由ρ=2sinθ，可得：ρ²=2ρsinθ，所以x²+y²=2y，
圓的直角坐標方程為：x²+y²-2y=0（或x²+（y-1）²=1），
在直角坐標系中$A（4，0），B（3，\sqrt{3}）$，
可得直線AB的方程為：$\sqrt{3}x+y-4\sqrt{3}=0$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圓心C（0，1），r=1，$|{AB}|=\sqrt{{{（4-3）}^2}+{{（0-\sqrt{3}）}^2}}=2$，
圓心到直線AB的距離$d=\frac{{|{1-4\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{4}}}=\frac{{4\sqrt{3}-1}}{2}$，
所以圓C上的點到直線AB的最大距離為d+r=$\frac{4\sqrt{3}-1}{2}$+1=$\frac{4\sqrt{3}+1}{2}$，
故△ABP面積的最大值為$S=\frac{1}{2}×2×\frac{{4\sqrt{3}+1}}{2}=\frac{{4\sqrt{3}+1}}{2}$．

點評 本題考查極坐標方程和直角坐標方程的互化，直線和圓方程的運用，注意運用圓上的點到直線的距離的最值，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想等．