Question

17．己知直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x及直線l₂：y=2x都與兩不同的圓C₁、C₂相切，且圓C₁、C₂均過點P（1，$\frac{3}{2}$），則這兩圓的圓心距|C₁C₂|=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• B． $\frac{4\sqrt{5}}{9}$
• C． $\frac{10\sqrt{119}}{9}$
• D． $\frac{4\sqrt{17}}{3}$

Answer 1

分析 設圓心坐標為（x，y），由于圓與直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，根據(jù)點到直線的距離公式得圓心只能在直線y=x上，設C₁（a，a），C₂（b，b），推導出a，b是方程$\frac{9{x}^{2}}{5}$-5x+$\frac{13}{4}$=0的兩根，由此能求出．這兩圓的圓心距|C₁C₂|．

解答 解：設圓心坐標為（x，y），由于圓與直線l₁：y=$\frac{1}{2}$x，l₂：y=2x都相切，
根據(jù)點到直線的距離公式得：$\frac{|x-2y|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|2x-y|}{\sqrt{5}}$，解得y=x，
∴圓心只能在直線y=x上，
設C₁（a，a），C₂（b，b），
則圓C₁的方程為（x-a）²+（y-a）²=$\frac{{a}^{2}}{5}$，
圓C₂的方程為（x-b）²+（y-b）²=$\frac{^{2}}{5}$，
將（1，$\frac{3}{2}$）代入，得：（1-a）²+（$\frac{3}{2}$-a）²=$\frac{{a}^{2}}{5}$，（1-b）²+（$\frac{3}{2}$-b）²=$\frac{^{2}}{5}$，
∴a，b是方程（1-x）²+（$\frac{3}{2}$-x）²=$\frac{{x}^{2}}{5}$，即$\frac{9{x}^{2}}{5}$-5x+$\frac{13}{4}$=0的兩根，
∴a+b=$\frac{25}{9}$，ab=$\frac{65}{36}$，
∴|C₁C₂|=$\sqrt{（a-b）^{2}+（a-b）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（a+b）^{2}-4ab}$=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$．
故選：B．

點評 本題考查兩圓的圓心距的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式、韋達定理的合理運用．