Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+|2x+3|，g（x）=|x-1|+2．
（1）解不等式g（x）＜|x-2|+2；
（2）若對任意x₁∈R都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為|x-1|＜|x-2|，然后求解不等式即可．
（2）利用條件說明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通過函數(shù)的最值，列出不等式求解即可

解答 解：（1）由g（x）＜|x-2|+2，得：|x-1|＜|x-2|，
兩邊平方得：x²-2x+1＜x²-4x+4，
解得：x＜$\frac{3}{2}$，
故不等式的解集是{x|x＜$\frac{3}{2}$}；
（2）因為任意x₁∈R，都有x₂∈R，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，
又f（x）=|2x-a|+|2x+3|≥|（2x-a）-（2x+3）|=|a+3|，
g（x）=|x-1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥-1或a≤-5，
所以實數(shù)a的取值范圍為a≥-1或a≤-5．

點評 本題考查函數(shù)的恒成立，絕對值不等式的解法，考查分析問題解決問題的能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．