Question

14．設F為拋物線x²=-4y的焦點，該拋物線在點P（-4，-4）處的切線與x軸的交點為Q，則三角形PFQ的外接圓方程為（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 確定拋物線的焦點與在點P（-4，-4）處的切線，求出Q的坐標，再利用PQ⊥QF，即可求得△PFQ的外接圓的方程．

解答 解：拋物線y=$-\frac{1}{4}$x²的焦點F（0，-1），
求導函數(shù)可得y′=-$\frac{1}{2}$x，當x=-4時，y′=-$\frac{1}{2}$×（-4）=2，
∴拋物線在點P（-4，-4）處的切線為y+4=2（x+4），即2x-y+4=0，
令y=0，可得x=-2，∴Q（-2，0），
∵k_QF=-$\frac{1}{2}$，k_PQ=2，
∴PQ⊥QF，
∴△PFQ的外接圓的直徑為PF，
∵P（-4，-4）、F（0，-1），
∴圓心坐標為（-2，-$\frac{5}{2}$），半徑為$\frac{5}{2}$，
∴△PFQ的外接圓的方程為（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
故答案為：（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

點評 本題考查拋物線的性質與切線，考查三角形的外接圓，解題的關鍵是求出拋物線的切線，確定三角形三個頂點的坐標．