Question

函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（-2）=0，且x＞0時，f（x）+xf'（x）＞0，則不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)y=xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)y=xf（x）（-∞，0）上也是增函數(shù)，且可得f（2）=f（-2）=0，從而求得不等式xf（x）＞0的解集．

解答： 解：∵x＞0時，f（x）+xf'（x）＞0，
即[xf（x）]′＞0，
∴函數(shù)y=xf（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
又∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（-2）=0，
∴函數(shù)y=xf（x）是奇函數(shù)，且在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
且f（2）=f（-2）=0，
故不等式xf（x）＞0的解集為{x|-2＜x＜0，或x＞2}，
故答案為：{x|-2＜x＜0，或x＞2}．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．