【題目】如圖,兩座建筑物AB,CD的底部都在同一個(gè)水平面上,且均與水平面垂直,它們的高度分別是10m和20m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角∠CAD=60°.
(1)求BC的長(zhǎng)度;
(2)在線(xiàn)段BC上取一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)B,C不重合),從點(diǎn)P看這兩座建筑物的視角分別為∠APB=α,∠DPC=β,問(wèn)點(diǎn)P在何處時(shí),α+β最小?
【答案】(1);(2)當(dāng)BP為cm時(shí),α+β取得最小值.
【解析】
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,根據(jù)得到,解得答案.
(2)設(shè)BP=t,則,故,設(shè),求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,得到最值.
(1)作AE⊥CD,垂足為E,則CE=10,DE=10,設(shè)BC=x,
則,
化簡(jiǎn)得,解之得,或(舍),
(2)設(shè)BP=t,則,
,
設(shè),,
令f'(t)=0,因?yàn)?/span>,得,
當(dāng)時(shí),f'(t)<0,f(t)是減函數(shù);
當(dāng)時(shí),f'(t)>0,f(t)是增函數(shù),
所以,當(dāng)時(shí),f(t)取得最小值,即tan(α+β)取得最小值,
因?yàn)?/span>恒成立,所以f(t)<0,
所以tan(α+β)<0,,
因?yàn)?/span>y=tanx在上是增函數(shù),所以當(dāng)時(shí),α+β取得最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某小學(xué)六年級(jí)學(xué)生的進(jìn)行一分鐘跳繩檢測(cè),現(xiàn)一班二班各有50人,根據(jù)檢測(cè)結(jié)果繪出了一班的頻數(shù)分布表和二班的頻率分布直方圖.
一班檢測(cè)結(jié)果頻數(shù)分布表:
跳繩個(gè)數(shù)區(qū)間 | |||||
頻數(shù) | 7 | 13 | 20 | 8 | 2 |
(1)根據(jù)給出的圖表估計(jì)一班和二班檢測(cè)結(jié)果的中位數(shù)(結(jié)果保留兩位小數(shù));
(2)跳繩個(gè)數(shù)不小于100個(gè)為優(yōu)秀,填寫(xiě)下面2×2列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為檢測(cè)結(jié)果是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān).
一班 | 二班 | 合計(jì) | |
優(yōu)秀 | |||
不優(yōu)秀 | |||
合計(jì) |
參考公式及數(shù)據(jù):,
0.100 | 0.050 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地有A,B、C、D四人先后感染了新型冠狀病毒,其中只有A到過(guò)疫區(qū),B肯定是受A感染的,對(duì)于C,因?yàn)殡y以判定他是受A還是受B感染的,于是假定他受A和受B感染的概率都是,同樣也假設(shè)D受A、B和C感染的概率都是.在這種假定之下,B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個(gè)隨機(jī)變量,寫(xiě)出X的可能取值為______,并求X的均值(即數(shù)學(xué)期望)為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某種賭博每局的規(guī)則是:賭客先在標(biāo)記有1,2,3,4,5的卡片中隨機(jī)摸取一張,將卡片上的數(shù)字作為其賭金;隨后放回該卡片,再隨機(jī)摸取兩張,將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的1.4倍作為其獎(jiǎng)金.若隨機(jī)變量ξ1和ξ2分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金,則D(ξ1)=_____,E(ξ1)﹣E(ξ2)=_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的不等式(ax﹣a2﹣4)(x﹣4)>0的解集為A,且A中共含有n個(gè)整數(shù),則當(dāng)n最小時(shí)實(shí)數(shù)a的值為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某車(chē)間4小時(shí)內(nèi)生產(chǎn)了100根不同規(guī)格的三角鋼材(單位:厘米),以,,,,,,分組的頻率分布直方圖如圖.
(1)求直方圖中的值;
(2)求這批鋼材規(guī)格的眾數(shù);
(3)在規(guī)格為,,,的四組鋼材中,用分層抽樣的方法抽取11根鋼材,則在的規(guī)格中應(yīng)抽取多少根?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中把三角形的田稱(chēng)為“圭田”,把直角梯形的田稱(chēng)為“邪田”,稱(chēng)底是“廣”,稱(chēng)高是“正從”,“步”是丈量土地的單位.現(xiàn)有一邪田,廣分別為十步和二十步,正從為十步,其內(nèi)有一塊廣為八步,正從為五步的圭田.若在邪田內(nèi)隨機(jī)種植一株茶樹(shù),求該株茶樹(shù)恰好種在圭田內(nèi)的概率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,過(guò)極點(diǎn)的兩射線(xiàn)、相互垂直,與曲線(xiàn)C分別相交于A、B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)O),且的傾斜角為銳角.
(1)求曲線(xiàn)C和射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程;
(2)求△OAB的面積的最小值,并求此時(shí)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大型娛樂(lè)場(chǎng)有兩種型號(hào)的水上摩托,管理人員為了了解水上摩托的使用情況及給娛樂(lè)城帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)收入情況,對(duì)該場(chǎng)所最近6年水上摩托的使用情況進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代碼x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
使用率 | 11 | 13 | 16 | 15 | 20 | 21 |
(Ⅰ)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù),用最小二乘法求水上摩托使用率關(guān)于年份代碼的線(xiàn)性回歸方程,并預(yù)測(cè)該娛樂(lè)場(chǎng)2019年水上摩托的使用率;
(Ⅱ)隨著生活水平的提高,外出旅游的老百姓越來(lái)越多,該娛樂(lè)場(chǎng)根據(jù)自身發(fā)展需求,準(zhǔn)備重新進(jìn)購(gòu)一批水上摩托,其型號(hào)主要是目前使用的Ⅰ型、Ⅱ型兩種,每輛價(jià)格分別為1萬(wàn)元、萬(wàn)元.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn),每輛水上摩托的的使用年限不超過(guò)四年.娛樂(lè)場(chǎng)管理部對(duì)已經(jīng)淘汰的兩款水上摩托的使用情況分別抽取了50輛進(jìn)行統(tǒng)計(jì),使用年限如條形圖所示:
已知每輛水上摩托從購(gòu)入到淘汰平均年收益是萬(wàn)元,若用頻率作為概率,以每輛水上摩托純利潤(rùn)(純利潤(rùn)=收益-購(gòu)買(mǎi)成本)的期望值為參考值,則該娛樂(lè)場(chǎng)的負(fù)責(zé)人應(yīng)選哪種型號(hào)的水上摩托?
附:線(xiàn)性回歸方程為,,
參考數(shù)據(jù):
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