Question

設(shè)a、b為常數(shù)，M={f（x）|f（x）=acosx+bsinx，x∈R}；F：把平面上任意一點(diǎn)（a，b）映射為函數(shù)acosx+bsinx．
（1）證明：對(duì)F不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)；
（2）證明：當(dāng)f₀（x）∈M時(shí)，f₁（x）=f₀（x+t）∈M，這里t為常數(shù)；
（3）對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值f₀（x），得M₁={f₀（x+t）|t∈R}，若映射F的作用下點(diǎn)（m，n）的象屬于M₁，問(wèn)：由所有符合條件的點(diǎn)（m，n）構(gòu)成的圖形是什么？

Answer 1

分析：（1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．特別令x=0，得a=c；令x=

π

2

，得b=d．這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù)．
（2）當(dāng)f₀（x）∈M時(shí)，可得常數(shù)aa₀，b₀，使f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx，f₁（x）=f₀（x+t）=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）=（a₀cost+b₀sint）+（b₀cost-a₀sint）sinx．由此能夠證明f₁（x）=f₀（x+t）∈M．
（3）設(shè)f₀（x）∈M，由此得f₀（x+t）=mcosx+nsinx，在映射F下，f₀（x+t）的原象是（m，n），則M₁的原象是{（m，n）|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，由此能得到有符合條件的點(diǎn)（m，n）構(gòu)成的圖形是圓．

解答：解：（1）證明：假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，
即F（a，b）=acosx+bsinx與F（c，d）=ccosx+dsinx相同，
即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立．
特別令x=0，得a=c；
令x=

π

2

，得b=d．
這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，
假設(shè)不成立．
故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù)．
（2）當(dāng)f₀（x）∈M時(shí)，
可得常數(shù)aa₀，b₀，使f₀（x）=a₀cosx+b₀sinx，
f₁（x）=f₀（x+t）=a₀cos（x+t）+b₀sin（x+t）
=（a₀cost+b₀sint）+（b₀cost-a₀sint）sinx．
由于a₀，b₀，t為常數(shù)，
設(shè)a₀cost+b₀sint=m，b₀cost-a₀sint=n，
則m，n是常數(shù)．
從而f₁（x）=f₀（x+t）∈M．
（3）設(shè)f₀（x）∈M，
由此得f₀（x+t）=mcosx+nsinx，
（其中m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint）
在映射F下，f₀（x+t）的原象是（m，n），
則M₁的原象是
{（m，n）|m=a₀cost+b₀sint，n=b₀cost-a₀sint，t∈R}，
消去t得m²+n²=a₀²+b₀²，
即在映射F下，M₁的原象{（m，n）|m²+n²=a₀²+b₀²}是以原點(diǎn)為圓心，

a02+b02

為半徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查映射的概念，難度較大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．