Question

設(shè)a，b為常數(shù)，M{f(x)|f(x)=acosx+bsinx}；F：把平面上任意一點(diǎn)(a，b)映射為函數(shù)acodx+bsinx．

（1）證明：不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)；

（2）證明：當(dāng)f₀(x)ÎM時(shí)，f₁(x)=f₀(x+t)ÎM，這里t為常數(shù)；

（3）對于屬于M的一個(gè)固定值f₀(x)，得M₁={f₀(

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答案：
解析：

（1）證明：假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)(a，b)，(c，d)對應(yīng)同一函數(shù)，即F(a，b)=acosx+bsinx與F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對于一切實(shí)數(shù)x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，設(shè)不成立．故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)同函數(shù)． （2）證明：當(dāng)f0(x)ÎM時(shí)，可得常數(shù)a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因?yàn)?/span>a0，a0，t為常數(shù)，設(shè)a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，則m，n是常數(shù)．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：當(dāng)f0(x)Î M時(shí)，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，則M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)(a，b)，(c，d)對應(yīng)同一函數(shù)，即F(a，b)=acosx+bsinx與F(c，d)=ccosx+dsinx相同，即acosx+bsinx=ccosx+dsinx對于一切實(shí)數(shù)x成立．令x=0，得a=c；令，得b=d這與(a，b)，(c，d)是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，設(shè)不成立．故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對應(yīng)同函數(shù)． （2）證明：當(dāng)f0(x)ÎM時(shí)，可得常數(shù)a0，b0，即f0(x)=a0cosx+b0sinx， f1(x)=f0(x+t)=a0cos(x+t)+b0sin(x+t)=(a0cost+b0sint)cosx+(b0cost-a0sint)sinx，因?yàn)?/span>a0，a0，t為常數(shù)，設(shè)a0cost+b0sint=m，b0cost-a0sint=n，則m，n是常數(shù)．所以f1(x)=mcosx+nsinxÎM （3）解：當(dāng)f0(x)Î M時(shí)，由此得f0(x+t)=mcosx+nsinx，其中m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，在映射F之下，f0(x+t)的原象是(m，n)，則M1的原象是{(m，n)|m=a0cost+b0sint，n=b0cost-a0sint，tÎR}．消去t得，即在映射F之下，M1的原象{(m，n)|m2+n2=< span style='mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol'>}是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．