Question

10．已知拋物線y²=4x的焦點為F，過點F的直線交拋物線于A，B兩點．
（1）若$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，求直線AB的斜率；
（2）設(shè)點M在線段AB上運動，原點O關(guān)于點M的對稱點為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，則$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），由$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，-y₁=3y₂，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即可求得直線AB的斜率；
（2）由（1）可知：丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，則四邊形OACB面積S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$•丨OF丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨，即可求得4$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥4，當(dāng)m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．

解答 解：（1）由拋物線y²=4x的焦點在x軸上，焦點坐標(biāo)F（1，0），
設(shè)直線AB的方程為：x=my+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達(dá)定理可知：y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-4，
$\overrightarrow{AF}$=（1-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-1，y₂），
∵$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{FB}$，
∴-y₁=3y₂，整理得：m²=$\frac{1}{3}$，解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線AB的斜率k=$\frac{1}{m}$=±$\sqrt{3}$，
直線AB的斜率$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$；
（2）由（1）可知：丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{16{m}^{2}+16}$=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$，
四邊形OACB面積S_OACB=2S_AOB=$\frac{1}{2}$•丨OF丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨=4$\sqrt{{m}^{2}+1}$≥4，
當(dāng)m=0時，四邊形OACB的面積最小，最小值為4．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)坐標(biāo)，三角形面積公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．