【題目】已知命題P:函數(shù)f(x)=log2m(x+1)是增函數(shù);命題Q:x∈R,x2+mx+1≥0.
(1)寫(xiě)出命題Q的否命題¬Q;并求出實(shí)數(shù)m的取值范圍,使得命題¬Q為真命題;
(2)如果“P∨Q”為真命題,“P∧Q”為假命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍

【答案】
(1)解:Q:x0∈R,x02+mx0+1<0.

若Q為真命題,則△=m2﹣4>0,解得:m<﹣2,或m>2.

故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).


(2)解:若函數(shù)f(x)=log2m(x+1)是增函數(shù),則 2m>1,

x∈R,x2+mx+1≥0為真命題時(shí),由△=m2﹣4≤0,

求得m的取值范圍為B={m|﹣2≤m≤2}.

由“P∨Q”為真命題,“P∧Q”為假命題,故命題P、Q中有且僅有一個(gè)真命題.

當(dāng)P真Q假時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為:

當(dāng)P假Q(mào)真時(shí),實(shí)數(shù)m的取值范圍為:

;

綜上可知實(shí)數(shù)m的取值范圍:[﹣2, ]∪(2,+∞).


【解析】(1)否命題Q,就是把命題Q的條件和結(jié)論都否定,聯(lián)系對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象,由△=m2﹣4>0,解得m的

取值范圍.(2)命題P和命題Q中,一個(gè)為真命題,一個(gè)為假命題,分命題P是真命題且命題Q是假命題、命題P是

假命題且命題Q是真命題,兩種情況,計(jì)算可得答案.

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn),掌握求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算,運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合,區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”,在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí),常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件,結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá),增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法;過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0;a>1時(shí)在(0,+∞)上是增函數(shù);0>a>1時(shí)在(0,+∞)上是減函數(shù)即可以解答此題.

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