Question

13．已知函數(shù)f（x）=-x+xlnx
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）-m-1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為f（x）=m+1在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖圖象，判斷求解即可．

解答 解：（1）f'（x）=lnx，令f'（x）＞0，解得x＞1；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜1；
∴f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）
（2）y=f（x）-m-1在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
可轉(zhuǎn)化為f（x）=m+1在（0，+∞）內(nèi)有兩個(gè)不同的根，
也可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m+1圖象上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由（Ⅰ）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（1）=-1，
由題意得，m+1＞-1即m＞-2①，
由圖象可知，m+1＜0，即m＜-1②，
由①②可得-2＜m＜-1．

點(diǎn)評(píng) 本題函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的圖象，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．