Question

12．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，二面角A-B₁D₁-A₁的正切值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-B₁D₁-A₁的正切值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
則A（1，0，0），B₁（1，1，1），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，1，1），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），
設(shè)平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-x+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
平面A₁B₁D₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設(shè)二面角A-B₁D₁-A₁的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tanθ=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\sqrt{2}$，
∴二面角A-B₁D₁-A₁的正切值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查二面角的正切值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．