Question

13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，$cosC=\frac{3}{10}$．
（1）若$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=\frac{9}{2}$，求△ABC的面積；
（2）設向量$\overrightarrow x=（2sinB，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow y=（cos2B，1-2{sin^2}\frac{B}{2}）$，且$\overrightarrow x∥\overrightarrow y$，求角B的值．

Answer 1

分析 （1）根據題意，由平面向量的數量積的計算公式，變形化簡可得ab=15，借助三角函數基本關系計算可得sinC的值，由三角形面積公式計算可得答案；
（2）由向量平行的坐標計算公式可得2sinB（1-2sin²$\frac{B}{2}$）-（-$\sqrt{3}$）cos2B=0，化簡可得$sin2B+\sqrt{3}cos2B=0$，進而可得$tan2B=-\sqrt{3}$，即可得B的值，分析B、C的大小關系，可得答案．

解答 解：（1）根據題意，∵$\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}=\frac{9}{2}$，∴$abcosC=\frac{9}{2}$，∴ab=15，
又∵$cosC=\frac{3}{10}$，C∈（0，π），$sinC=\frac{{\sqrt{91}}}{10}$．    
所以${S_{△ABC}}=\frac{{3\sqrt{91}}}{4}$．                        
（2）根據題意，∵$\overrightarrow x∥\overrightarrow y$，∴2sinB（1-2sin²$\frac{B}{2}$）-（-$\sqrt{3}$）cos2B=0，
即$2sinB[{1-2{{sin}^2}\frac{B}{2}}]+\sqrt{3}cos2B=0$，
$2sinBcosB+\sqrt{3}cos2B=0$，即$sin2B+\sqrt{3}cos2B=0$，顯然cos2B≠0，
所以$tan2B=-\sqrt{3}$，
所以$2B=\frac{2π}{3}$或$\frac{5π}{3}$，即$B=\frac{π}{3}$或$\frac{5π}{6}$，
因為$cosC=\frac{3}{10}$$＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$C＞\frac{π}{6}$，
所以$B=\frac{5π}{6}$（舍去），
即$B=\frac{π}{3}$．

點評 本題靠三角形中的幾何計算，涉及向量的數量積運算以及向量平行的坐標表示，（2）中注意取舍．