Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$（x∈R）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）用定義判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)奇偶性求解即可，對于奇偶性的判斷，只須考慮f（-x）與f（x）的關(guān)系即得；
（2）單調(diào)性的定義對于單調(diào)性的證明，先在定義域中任取兩個實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，再比較f（x₁）-f（x₂）即可；
（3）先依據(jù)函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)性化掉符號：“f”，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求得m的取值范圍

解答 解：（1）∵f（-x）=$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
（2）證明：f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
在定義域中任取兩個實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$．
∵x₁＜x₂，∴0＜${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，從而f（x₁）-f（x₂）＜0
∴函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)增函數(shù)．
（3）由（2）得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在R上為單調(diào)增函數(shù)，
∴f（1-m）+f（1-m²）＜0即f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），1-m＜m²-1
∴原不等式的解集為（-∞，-2）∪（1，+∞）

點(diǎn)評 本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、不等式的解法、函數(shù)的值域等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．