Question

16．在棱長為2的正方體△ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是A₁B₁、CD的中點，則點B到截面AMC₁N的距離為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出點B到截面AMC₁N的距離．

解答 解：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，
∵在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
M、N分別是A₁B₁、CD的中點，
∴A（2，0，0），M（2，1，2），N（0，1，0），B（2，2，0），
$\overrightarrow{AM}$=（0，1，2），$\overrightarrow{AN}$=（-2，1，0），$\overrightarrow{AB}$=（0，2，0）
設(shè)平面AMN的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
則$\left\{\begin{array}{l}{y+2z=0}\\{-2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，2，-1），
∴點B到截面AMC₁N的距離：d=$\frac{4}{\sqrt{6}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選B．

點評 本題考查點到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．