Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)，求證：a+b＜0的充要條件是f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）

Answer 1

分析 先證明充分性，由已知中函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，根據(jù)a+b＜0，易得a＜-b，b＜-a，進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)，即可得到答案．
再證明必要性若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），則a+b＜0，根據(jù)正“難”則“反”的原則，我們可以用反證法判定結(jié)論的真假．

解答 證明：（充分性）∵函數(shù)y=f （x）是R上的增函數(shù)
∴當(dāng)a+b＜0時(shí)，a＜-b，b＜-a
∴f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），
∴f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）
∴充分條件成立
（必然性）反證法證明：假設(shè)a+b≥0  則a≥-b，b≥-a
又∵函數(shù)y=f （x）是R上的增函數(shù)
∴f（a）≥f（-b），f（b）≥f（-a）
∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b） 與條件矛盾
∴假設(shè)并不成立，
∴a＞b，
∴必要條件成立
∴a+b＜0的充要條件是f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，命題的真假判斷與應(yīng)用，其中充分性的關(guān)鍵是將a+b＜0，變形為a＜-b，b＜-a，必要性的關(guān)鍵是根據(jù)正“難”則“反”的原則，選用反證法進(jìn)行論證．