Question

6．已知函數(shù)f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a＞0）
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$ 時(shí)，求f（x） 的極值；
（2）若a∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)f（x） 存在兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂，試比較f（x₁）+f（x₂） 與f（0）的大�。�

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到極值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)，再求極值之和，構(gòu)造當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=ln（1+$\frac{1}{2}$x）-$\frac{2x}{x+2}$，定義域$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{1}{2}x＞0}\\{x+2≠0}\end{array}\right.$，解得x＞-2，
f′（x）=$\frac{x-2}{{（x+2）}^{2}}$，即有（-2，2）遞減，（2，+∞）遞增，
故f（x）的極小值為f（2）=ln2-1，沒有極大值．
（2）f（x）=ln（1+ax）-$\frac{2x}{x+2}$（a＞0），x＞-$\frac{1}{a}$，
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-4（1-a）}{（1+ax{）（x+2）}^{2}}$，
由于$\frac{1}{2}$＜a＜1，則a（1-a）∈（0，$\frac{1}{4}$），-$\frac{1}{a}$＜-$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
ax²-4（1-a）=0，解得x=±$\frac{2\sqrt{a（1-a）}}{a}$，
f（x₁）+f（x₂）=ln[1+2 $\sqrt{a（1-a）}$]+ln[1-2 $\sqrt{a（1-a）}$]-$\frac{4\sqrt{1-a}}{2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$-$\frac{4\sqrt{1-a}}{-2\sqrt{1-a}+2\sqrt{a}}$，
即f（x₁）+f（x₂）=ln[（1-2a）²]+$\frac{2}{2a-1}$-2，
設(shè)t=2a-1，當(dāng)$\frac{1}{2}$＜a＜1，0＜t＜1，則設(shè)f（x₁）+f（x₂）=g（t）=lnt²+$\frac{2}{t}$-2，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g（t）=2lnt+$\frac{2}{t}$-2，
g′（t）=$\frac{2}{t}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{2（t-1）}{{t}^{2}}$＜0，
g（t）在0＜t＜1上遞減，g（t）＞g（1）=0，
即f（x₁）+f（x₂）＞f（0）=0恒成立，
綜上述f（x₁）+f（x₂）＞f（0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，運(yùn)用單調(diào)性比較大小，運(yùn)用已知不等式和累加法證明不等式的方法，屬于中檔題．