Question

已知拋物線的方程為，直線的方程為，點A關于直線的對稱點在拋物線上．

（1）求拋物線的方程；

（2）已知，點是拋物線的焦點，M是拋物線上的動點，求的最小值及此時點M的坐標；

（3）設點B、C是拋物線上的動點，點D是拋物線與軸正半軸交點，△BCD是以D為直角頂點的直角三角形．試探究直線BC是否經(jīng)過定點？若經(jīng)過，求出定點的坐標；若不經(jīng)過，請說明理由．

Answer 1

解：(1)設點A(3,-1)關于直線的對稱點為坐標為(x,y),

則解得-

把點（1，3）代入，解得a = 4，

所以拋物線的方程為

（2）∵是拋物線的焦點，拋物線的頂點為（0，-1），

∴拋物線的準線為，

過點M作準線的垂線，垂足為A,由拋物線的定義知,

∴=,當且僅當P、M、A三點共線時“=”成立，

即當點M為過點P所作的拋物線準線的垂線與拋物線的交點時，取最小值，

∴，這時點M的坐標為．

（3）BC所在的直線經(jīng)過定點，該定點坐標為，

令，可得D點的坐標為

設，顯然，

則-

∵，∴，即

直線BC的方程為

即-

所以直線BC經(jīng)過定點.-