Question

【題目】已知橢圓C： 的上頂點M與左、右焦點F1、F2構成三角形MF1F2面積為 ，又橢圓C的離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C的下頂點為N，過點T（t，2）（t≠0）的直線TM，TN分別與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點．若△TMN的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：橢圓離心率e= = ，

又 ，a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，

∴橢圓C的方程為

（2）解：∵S△TMN= |MN||t|=|t|，

直線TM的方程為：y= ，

聯(lián)立 ，得 ，

∴E（ ， ），

直線TN的方程為：y= ，

聯(lián)立 ，得 ，

∴F（ ， ），

∵E到直線TN：3x﹣ty﹣t=0的距離：

d= = ，

TF=

=

=

= ，

∴S△TEF= = = ，

∴S△TEF= = = ，

∴k= = ，

令t2+12=n＞12，則k= =1+ ≤ ，

當且僅當n=24，即t= 時，等號成立，

∴k的最大值為

【解析】（1）由橢圓的上頂點M與左、右焦點構成三角形面積為 ，離心率為 ，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（2）S△TMN= |MN||t|=|t|，直線TM的方程為：y= ，直線TN的方程為：y= ，求出E、F、E到直線TN：3x﹣ty﹣t=0的距離和TF，從而得到k= = ，由此能求出k的最大值．