Question

10．第31屆夏季奧林匹克運動會于2016年8月5日至21日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行，為了選拔某個項目的奧運會參賽隊員，共舉行5次達標測試，選手如果通過2次達標測試即可參加里約奧運會，不用參加其余的測試，而每個選手最多只能參加5次測試，假設某個選手每次通過測試的概率都是$\frac{1}{3}$，每次測試通過與是相互獨立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（1）求該選手能夠參加本屆奧運會的概率；
（2）記該選手參加測試的次數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）記“該選手能夠參加本屆奧運會”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$，利用對立事件概率計算公式能求出該選手能夠參加本屆奧運會的概率．
（2）該選手參加測試次數(shù)的可能取值為2，3，4，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列、E（X）．

解答 解：（1）記“該選手能夠參加本屆奧運會”為事件A，其對立事件為$\overline{A}$，
P（$\overline{A}$）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{112}{243}$，
∴P（A）=1-P（A）=1-$\frac{112}{243}$=$\frac{131}{243}$．
（2）該選手參加測試次數(shù)的可能取值為2，3，4，5，
P（X=2）=（$\frac{1}{3}$）²=$\frac{1}{9}$，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）（\frac{1}{3}）=\frac{4}{27}$，
P（X=4）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）+（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{28}{81}$，
由于規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試，
當X=5時的情況，說明前4次只通過了1次，但不必考慮第5次是否通過，
∴P（X=5）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{28}{81}$	$\frac{32}{81}$

E（X）=$2×\frac{1}{9}+3×\frac{4}{27}+4×\frac{28}{81}+5×\frac{32}{81}$=$\frac{326}{81}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，考查化歸與轉化思想，函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合思想，是中檔題．