7.在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,∠APD=90°,PA=PD=AB=a,ABCD是矩形,E是PD的中點.
(1)求證:PB∥平面AEC
(2)求證:PB⊥AC.

分析 (1)連接BD交AC于點O,則OE∥PB,由此能證明PB∥平面AEC.
(2)設(shè)AD中點為F,連接BF、PF,推導出AC⊥BF,PF⊥AD,從而PF⊥AC,由此能證明AC⊥PB.

解答 證明:(1)連接BD交AC于點O,
∵ABCD是矩形,∴O是BD中點,…(1分)
又∵E是PD中點,
∴OE是△DBP的中位線,
∴OE∥PB,…(2分)
∵OE?平面AEC,PB?平面AEC,…(4分)
∴PB∥平面AEC. …(5分)
(2)設(shè)AD中點為F,連接BF、PF.
∵PA=PD=AB=a,
∴AD=BC=$\sqrt{2}a$,AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$,∴$\frac{AB}{AF}=\frac{BC}{AB}=\sqrt{2}$.
△△ABC∽△FAB,∴AC⊥BF,…(8分)
又PA=PD,F(xiàn)是AD的中點,∴PF⊥AD,…(9分)
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PF?平面PAD,
∴PF⊥面ABCD,…(10分)
∵AC?平面ABCD,∴PF⊥AC,
∵PF∩BF=F,…(11分)
∴AC⊥平面PBF,∵PB?平面ABCD,
∴AC⊥PB.…(12分)

點評 本題考查線面平行的證明,考查線線垂直的證明,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

練習冊系列答案
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