【題目】已知函數(shù)，.

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.

(2)當(dāng)時，是否存在，使得成立？若存在，求實數(shù)的取值范圍，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域，接著求導(dǎo)，對參數(shù)分類討論。

（2）假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足，將問題轉(zhuǎn)化為求與。

解：（1），

當(dāng)時，恒成立，即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，所以不存在極值．

當(dāng)時，令，得,當(dāng)時，，當(dāng)時，，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，此時函數(shù)在處取得極大值，極大值為，無極小值．

綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間，不存在極值．當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，極大值為，無極小值

（2）當(dāng)時，假設(shè)存在，使得成立，則對，滿足

由可得，

.

令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以在上單調(diào)遞增，

所以

由（1）可知，①當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以的最小值是．

②當(dāng)，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以的最小值是．

③當(dāng)時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，在上的最小值是.當(dāng)時，在上的最小值是

所以當(dāng)時，在上的最小值是，故，

解得,所以．

當(dāng)時，函數(shù)在上的最小值是，故，

解得，所以.故實數(shù)的取值范圍是

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若對，恒成立，求的取值范圍.

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【題目】西北某省會城市計劃新修一座城市運動公園，設(shè)計平面如圖所示：其為五邊形，其中三角形區(qū)域為球類活動場所；四邊形為文藝活動場所，，為運動小道（不考慮寬度），，千米.

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（2）求球類活動場所的面積最大值.

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【題目】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（ ）

A. B. C. D. 2

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【題目】2018年是中國改革開放的第40周年，為了充分認(rèn)識新形勢下改革開放的時代性，某地的民調(diào)機構(gòu)隨機選取了該地的100名市民進行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）現(xiàn)從年齡在內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人進行座談，用表示年齡在內(nèi)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地抽取20名市民進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時，求的值.

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【題目】用一張長為12，寬為8的鐵皮圍成圓柱形的側(cè)面，則這個圓柱的體積為_____；半徑為R的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，那么這個圓錐筒的高是_____．

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（1）求證：平面；

（2）若為等邊三角形，點為的中點，求二面角的余弦值.

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【題目】回答下列兩個問題, 并給出例子或證明.

(1)對任意正整數(shù), 在平面上是否都存在個不在同一條直線上的點, 使得任意兩點間的距離都為正整數(shù)?

(2)在平面上是否存在兩兩不同的無限點列組成的點集, 使得內(nèi)所有點不在同一條直線上, 且內(nèi)任意兩點間的距離為正整數(shù)?

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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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