Question

16．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若AB=$\sqrt{2}$BB₁，則AB₁與BC₁所成角的大小為（　�。�

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 利用向量加法的三角形法則，可將AB₁與C₁B的方向向量分別用三棱柱的棱對應的向量表示，進而設BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，分析出兩向量數(shù)量積為0，進而得到兩直線互相垂直．

解答 解：∵AB=$\sqrt{2}$BB₁，設BB₁=1，AB=$\sqrt{2}$，
∴$\overrightarrow{{AB}_{1}}$•$\overrightarrow{{BC}_{1}}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$ ）•（$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{{CC}_{1}}$ ）
=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{{CC}_{1}}$+$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{{BB}_{1}}$²+$\overrightarrow{{BB}_{1}}$•$\overrightarrow{BC}$
=0+$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$×cos$\frac{π}{3}$-1+0=0
∴直線AB₁與BC₁所成角為$\frac{π}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中利用向量法將空間直線夾角轉化為向量夾角是解答的關鍵．