Question

16．已知曲線C的極坐標方程為ρ²+4ρcos（θ-$\frac{π}{6}}$）-5=0．
（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程，并選擇恰當?shù)膮��?shù)寫出它的參數(shù)方程；
（2）若點P（x，y）在曲線C上，求使$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立的實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的余弦公式展開極坐標方程，再將直角坐標與極坐標的互化公式代入，化簡可得結果，它的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+3cosθ}\\{y=-1+3sinθ}\end{array}\right.，θ為參數(shù)$，
（2）$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立轉化為a≥6cos（θ+$\frac{π}{6}$）-2，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∵ρ²+4ρcos（θ-$\frac{π}{6}}$）-5=0．
∴ρ²+4ρ（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ+$\frac{1}{2}$sinθ）-5=0．
∴x²+y²+2$\sqrt{3}$x+2y-5=0，
∴（x+$\sqrt{3}$）²+（y+1）²=9，
參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}+3cosθ}\\{y=-1+3sinθ}\end{array}\right.，θ為參數(shù)$；
（2）∵$\sqrt{3}$x-y+a≥0恒成立，
∴$\sqrt{3}$（-$\sqrt{3}$+3cosθ）-（-1+3sinθ）+a≥0，
∴a≥6cos（θ+$\frac{π}{6}$）-2，
∵-1≤6cos（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴a≥6-2=4，
故a的取值范圍為[4，+∞）

點評 本題考查點的極坐標和直角坐標的互化，利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，進行代換即得．