Question

20．已知O為坐標原點，方程x²+y²+x-6y+c=0
（1）若此方程表示圓，求c的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線l：x+2y-3=0交于P、Q兩點．若以PQ為直徑的圓過原點O求c值．

Answer 1

分析 （1）根據二元二次方程表示圓，D²+E²-4F＞0，代入數據求出c的取值范圍；
（2）法一：設出PQ中點（m，n），寫出以PQ為直徑的圓，利用公共弦方程求出m、n的值，代入直線l求出c的值．
法二：設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）利用直徑對直角得出OP⊥OQ，由k_OPk_OQ=-1以及直線與圓的方程組成方程組，利用根與系數的關系即可求出c的值．

解答 解：（1）若方程x²+y²+x-6y+c=0表示圓，
則D²+E²-4F=1+36-4c＞0，
解得c＜$\frac{37}{4}$；…（3分）
（2）法一：PQ為直徑的圓過原點O，設PQ中點為（m，n），
則以PQ為直徑的圓為（x-m）²+（y-n）²=m²+n²…（6分）
∵PQ為圓C：x²+y²+x-6y+c=0與（x-m）²+（y-n）²=m²+n²的公共弦，
∴PQ方程為（1+2m）x+（-6+2n）y+c=0，…（8分）
它與直線l：x+2y-3=0為同一條直線，
∴$\frac{1+2m}{1}=\frac{-6+2n}{2}=\frac{c}{3}$，
解得$m=\frac{c-3}{6}，n=-\frac{c+9}{3}$；…（10分）
∵（m，n）在直線l：x+2y-3=0上，
∴將$m=\frac{c-3}{6}，n=-\frac{c+9}{3}$代入，
解得c=3即為所求． …（12分）
法二：設P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ為直徑的圓過原點O，
∴OP⊥OQ，
∴k_OPk_OQ=-1，即x₁x₂+y₁y₂=0①；…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}+x-6y+c=0\\ x+2y-3=0\end{array}\right.$，
消去x得5y²-20y+12+c=0，
∴y₁+y₂=4，${y_1}{y_2}=\frac{12+c}{5}$②；…（8分）
又x₁x₂=（3-2y₁）（3-2y₂）=9-6（y₁+y₂）+4y₁y₂③；…（10分）
將②③代入①，
解得c=3即為所求．…（12分）

點評 本題考查了二元二次方程表示圓以及直線與圓的應用問題，也考查了方程組以及根與系數的關系應用問題，是綜合性題目．