Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+a+2，a∈R．
（1）若方程f（x）=0有兩個小于2的不等實根，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若不等式f（x）≥-1-ax對任意x∈R恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，2]上的最大值為4，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的性質得到關于a的不等式組，解出即可；
（2）問題轉化為x²-ax+a+3≥0對任意x∈R恒成立，根據(jù)△≤0，求出a的范圍即可；
（3）求出函數(shù)的對稱軸，通過討論a的范圍結合二次函數(shù)的性質，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）方程f（x）=0有兩個小于2的不等實根
?$\left\{\begin{array}{l}△=4{a^2}-4（a+2）＞0\\ f（2）=4-4a+a+2＞0\\ a＜2\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＞2或a＜-1\\ a＜2\\ a＜2\end{array}\right.⇒a＜-1$；         （5分）
（2）由f（x）≥-1-ax得x²-2ax+a+2≥-1-ax⇒x²-ax+a+3≥0對任意x∈R恒成立，
則△=a²-4（a+3）≤0⇒a²-4a-12≤0⇒-2≤a≤6；        （10分）
（3）函數(shù)f（x）的對稱軸為x=a，
則當a＜1時，函數(shù)在[0，2]上的最大值為：
$f（2）=4-4a+a+2=6-3a=4⇒a=\frac{2}{3}＜1$，符合條件；
當a≥1時，函數(shù)在[0，2]上的最大值為f（0）=a+2=4⇒a=2＞1，符合條件；
所以，所求實數(shù)a的值為$a=\frac{2}{3}$或a=2．                   （16分）

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質，考查函數(shù)的單調性最值問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．