Question

10．已知P是邊長為4的正△ABC的邊BC上的動點，則$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$（　�。�

• A． 最大值為16
• B． 是定值24
• C． 最小值為4
• D． 是定值4

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BC}$，根據(jù)平面向量的數(shù)量積計算$\overrightarrow{AP}$•﹙$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$﹚的值．

解答 解：設$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{BP}$=t$\overrightarrow{BC}$，
則$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，${\overrightarrow{a}}^{2}$=${\overrightarrow}^{2}$=16，$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow$=4×4×cos60°=8；
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{a}$+t﹙$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$﹚=﹙1-t﹚$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$，
又∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{AP}$•﹙$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$﹚=[﹙1-t﹚$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow$]•﹙$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$﹚
=﹙1-t﹚${\overrightarrow{a}}^{2}$+[﹙1-t﹚+t]$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+t${\overrightarrow}^{2}$
=﹙1-t﹚×16+8+t×16=24，
∴$\overrightarrow{AP}•（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$是定值24．
故選：B．

點評 本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算和線性運算，是基礎(chǔ)題．